Abstand von Primzahlen

Beweise Bitte, dass der Abstand zwischen 2 Primzahlen beliebig groß werden kann

Um zu zeigen, dass der Abstand zwischen zwei Primzahlen beliebig groß werden kann, können wir ein Gedankenexperiment durchführen, das auf der Idee von Primfaktorzerlegung basiert.

Angenommen, wir haben eine Zahl N, und wir wollen zeigen, dass es möglich ist, ein Intervall von aufeinanderfolgenden Zahlen zu finden, in dem keine Primzahlen vorkommen, und das größer oder gleich N ist.

Betrachten wir die Zahl N! (N Fakultät), welche definiert ist als das Produkt aller natürlichen Zahlen von 1 bis N:

N! = 1 × 2 × 3 × … × (N-1) × N

Jetzt betrachten wir die Zahlen im Intervall (N! + 1) bis (N! + N). Es gibt genau N Zahlen in diesem Intervall.

Nehmen wir eine Zahl M aus diesem Intervall, wobei M = N! + k und 1 ≤ k ≤ N. Wir können sicher sagen, dass M durch keine Zahl im Bereich von 2 bis N (einschließlich) teilbar ist. Der Grund dafür ist, dass M bei Division durch irgendeine dieser Zahlen immer einen Rest von k hat, weil M minus k eine Faktultät ist und alle Zahlen von 2 bis N in der Fakultät enthalten sind.

Da M nicht durch irgendeine der Zahlen im Bereich von 2 bis N teilbar ist, müssen die Primfaktoren von M größer als N sein, oder M selbst ist eine Primzahl. Allerdings, wenn M eine Primzahl wäre, dann wäre M eine Primzahl, deren Abstand zur nächstkleineren Primzahl (die kleiner oder gleich N sein muss) mindestens N beträgt. In diesem Fall wäre unser Ziel erreicht, da wir einen Abstand von mindestens N zwischen zwei Primzahlen gefunden haben.

Andernfalls, wenn M keine Primzahl ist, dann gibt es keine Primzahlen im Intervall (N! + 1) bis (N! + N), und der Abstand zwischen der größten Primzahl kleiner oder gleich N und der kleinsten Primzahl größer als N! beträgt mindestens N.

In beiden Fällen haben wir gezeigt, dass der Abstand zwischen zwei Primzahlen beliebig groß werden kann.

Du bist auf dem richtigen Weg. Aber so ist die Erklärung kaum verständlich. Geht es einfachuer

Entschuldigung, wenn meine vorherige Erklärung schwer verständlich war. Lassen Sie mich versuchen, die Idee auf eine einfachere Weise darzustellen.

Wir wollen zeigen, dass der Abstand zwischen zwei Primzahlen beliebig groß werden kann. Dafür führen wir folgendes Gedankenexperiment durch:

  1. Wählen Sie eine beliebige Zahl N.
  2. Berechnen Sie N! (N Fakultät), das Produkt aller Zahlen von 1 bis N.
  3. Betrachten Sie die Zahlen zwischen N! + 1 und N! + N (einschließlich beider Enden).

Jetzt schauen wir uns an, warum in diesem Intervall keine Primzahlen liegen:

Wenn wir eine dieser Zahlen (N! + k, wobei k zwischen 1 und N liegt) durch eine Zahl von 1 bis N teilen, erhalten wir immer einen Rest von k. Das liegt daran, dass N! durch alle Zahlen von 1 bis N teilbar ist. Wenn wir k hinzufügen, verhindern wir, dass die Zahl durch irgendeine dieser Zahlen teilbar ist.

Da keine der Zahlen im Intervall (N! + 1) bis (N! + N) durch Zahlen zwischen 1 und N teilbar ist, können sie keine Primzahlen sein, da ihre Faktoren größer als N sein müssen.

Daher gibt es keine Primzahlen im Intervall (N! + 1) bis (N! + N), was bedeutet, dass der Abstand zwischen der größten Primzahl kleiner oder gleich N und der nächstgrößeren Primzahl mindestens N beträgt. Da N eine beliebige Zahl sein kann, kann der Abstand zwischen Primzahlen beliebig groß werden.

Warum sagst du nicht einfach folgendes: Da k ein Faktor in N! ist, kann k aus (N! +k) ausgeklammert werden und damit ist N! +k durch k teilbar, also jede Zahl zwischen N! und N! +N ist teilbar, k beliebig ist?

Entschuldigung, wenn meine vorherigen Erklärungen nicht klar genug waren. Ihre Zusammenfassung ist in der Tat präziser und einfacher:

Da k ein Faktor von N! ist, kann k aus (N! + k) ausgeklammert werden, was bedeutet, dass N! + k durch k teilbar ist. Da k in diesem Fall zwischen 1 und N liegt, zeigt dies, dass jede Zahl im Intervall zwischen N! und N! + N teilbar ist. Da diese Zahlen alle teilbar sind, können sie keine Primzahlen sein. Dies beweist, dass der Abstand zwischen Primzahlen beliebig groß werden kann.